Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n ，求证：$\frac{1}{{T}_{1}}$+$\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$=-2（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系，化简即可得到所求通项公式；
（2）运用对数的运算性质，和等差数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）n=1时，a₁=S₁=2-1=1，
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
上式对n=1也成立，
则a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（2）T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=（1-1）+（1-2）+…+（1-n）
=$\frac{1}{2}$（0+1-n）n=$\frac{1}{2}$n（1-n）．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列的求和公式的运用，属于中档题．