Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AA₁=2

2

，∠ACB=90°，M是AA₁的中点，N是BC₁的中点．
（1）求证：MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-C₁M-C的平面角余弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）取B₁C₁中点D，连接A₁D、ND，利用三角形中位线定理和矩形的性质，可得四边形A₁MND是平行四边形，从而MN∥A₁D，结合线面平行的判定定理，即可证出MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）由线面垂直的判定与性质，结合题意可证出BC⊥平面AA₁C₁C．在矩形矩形ACC₁A₁中利用三角形相似，可得CE⊥C₁M，结合三垂线定理得到BE⊥C₁M，从而得出∠BEC是二面角B-C₁M-C的平面角，最后在Rt△BCE中算出BE、CE的长，利用三角函数的定义，可得出二面角B-C₁M-C的平面角余弦值的大小．

解答：解：（1）取B₁C₁中点D，连接A₁D、ND
∵△BB₁C₁中，N、D分别是BC₁、B₁C₁中点，∴ND∥BB₁，且ND=

1

2

BB₁．
又∵矩形ABB₁A₁中，M为AA₁的中点，∴AM∥BB₁，且AM=

1

2

BB₁．
∴四边形A₁MND是平行四边形，可得MN∥A₁D
∵MN?平面A₁B₁C₁，A₁D?平面A₁B₁C₁．
∴MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）连接A₁C交C₁M于点E，连接BE
∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=

AC2+BC2

=2

2

∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥AA₁
又∵BC⊥AC，AC、AA₁是平面AA₁C₁C内的相交直线
∴BC⊥平面AA₁C₁C
∵矩形ACC₁A₁中，A₁M=

2

，A₁C₁=2，C₁C=2

2

∴

CC1

C1A1

=

C1A1

A1M

=

2

，得△CC₁A₁∽△C₁A₁M
∴∠C₁CE+∠CC₁E=∠A₁C₁M+∠CC₁E=90°，得CE⊥C₁M
∵BC⊥平面AA₁C₁C，得CE是BE在平面AA₁C₁C内的射影
∴BE⊥C₁M，得∠BEC是二面角B-C₁M-C的平面角
∵Rt△C₁A₁M中，A₁E=

A1C1•A1M

A1C12+A1M2

=

2

3

3

，
∴结合A₁C=

A1C12+C1C2

=2

3

，得CE=A₁C-A₁E=

4 3

3

由此可得，Rt△BCE中，BE=

BC2+CE2

=

2 21

3

∴cos∠BEC=

CE

BE

=

2 7

7

，即二面角B-C₁M-C的平面角余弦值的大小为

2 7

7

．

点评：本题给出特殊直三棱柱，求证线面平行并求二面角的余弦值，着重考查了空间平行、垂直位置关系的证明和二面角的平面角的求法等知识，属于中档题．