Question

已知数列{a_n}满足．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记，求证：．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴=，
∴
∵
∴数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列
∴；
（Ⅱ）∵，∴
∵（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，
∴对任意n∈N^*恒成立
∵在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增
∴
∴
∴实数t的取值范围是；
（Ⅲ）∵=，
猜想
用数学归纳法证明：
①n=1时，左边==右边；n=2时，左边=，右边=，左边＞右边；
②假设n=k（k≥2）时结论成立，即
则n=k+1时，左边=
=右边
由①②知，猜想成立
又
∴
∴
分析：（Ⅰ）根据，可得=，从而可得数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列，故可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）将（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，等价于对任意n∈N^*恒成立在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，可求右边函数的最小值，从而可求实数t的取值范围；
（Ⅲ）因为=，为了证明结论，首先猜想并证明，利用，即可证得结论．
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查不等式的证明，解题的关键是恒成立问题的等价转化，及数列的特殊性，第（Ⅲ）难度较大．