Question

已知集合{1，2，3，…，n}（n∈N^*，n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a_n．
（1）若a_n=7，则n=

 

；
（2）a₁₀=

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性,进行简单的演绎推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法,集合

分析：集合{1，2，3，…，k，k+1，k+2}（k∈N^*）的T子集可以分为两类：第一类中不含有k+2，这类子集有a_k+1个，第二类子集中含有k+2，这类子集为{1，2，3，…，k}的T子集与{k+2}的并集，共有a_k+k个．∴a_k+2=a_k+1+a_k+k，由a₃=1，a₄=3，即可得出．

解答： 解：集合{1，2，3，…，k，k+1，k+2}（k∈N^*）的T子集可以分为两类：第一类中不含有k+2，这类子集有a_k+1个，第二类子集中含有k+2，这类子集为{1，2，3，…，k}的T子集与{k+2}的并集，共有a_k+k个．∴a_k+2=a_k+1+a_k+k，∵a₃=1，a₄=3，∴a₅=7，a₆=14，a₇═26，a₈=46，a₉=79，a₁₀=133．
故答案分别为：5，133．

点评：本题考查了对于新定义T子集的理解与应用，考查分类讨论的思想方法，考查了由特殊到一般的解题思想方法，考查了推理能力，属于难题．