Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（-3）=a，试用a表示f（24）．

Answer 1

证明：（1）证明：令y=-x，得：f（x）+f（-x）=f（0），
令x=y=0，，则f（0）=2f（0）?f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=0，f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）∵f（24）=f（3）+f（21）=2f（3）+f（18）=…=8f（3），
又∵f（-3）=a?f（3）=-a?f（24）=-8a．
分析：（1）可令y=-x，得到f（x）+f（-x）=f（0），再令x=y=0，可求得f（0）=0，从而可证明f（x）是奇函数；
（2）利用（1）中f（x）是奇函数，由f（-3）=a，可求得f（3），再根据“当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）”即可用a表示f（24）．
点评：本题考查函数奇偶性的判断，着重考查赋值法研究抽象函数的奇偶性，属于中档题．