Question

（满分12分）设函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（II）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）函数的单调递增区间为．（2）．

试题分析：（1）函数的定义域为，
∵，  
∵，则使的的取值范围为，
故函数的单调递增区间为．  
（2）方法1：∵，
∴．
令，              
∵，且，
由．
∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，
故在区间内恰有两个相异实根    
即解得：．
综上所述，的取值范围是 
方法2：∵，
∴．
即，
令， ∵，且，
由．
∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．
∵，，，
又，
故在区间内恰有两个相异实根．
即．
综上所述，的取值范围是．
点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性。对于方程解的讨论，本解法提供了“数形结合法”和“导数法”两种方法，都说明要充分研究函数的图象特征，利用函数的图象特征解题。本题涉及到了对数函数，应特别注意函数的定义域。