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(2012•辽宁模拟)选修4-1:几何证明选讲
已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1.
(Ⅰ)求证:AC平分∠BAD;
(Ⅱ)求BC的长.
分析:(Ⅰ)连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,再证明OC∥AD,即可证得AC平分∠BAD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
BC
=
CE
,从而BC=CE,利用ABCE四点共圆,可得∠B=∠CED,从而有
DE
CE
=
CB
AB
,故可求BC的长.
解答:(Ⅰ)证明:连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,(2分)
因为CD为半圆的切线,所以OC⊥CD,
又因为AD⊥CD,所以OC∥AD,
所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD,所以AC平分∠BAD.(4分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知
BC
=
CE
,∴BC=CE,(6分)
连接CE,因为ABCE四点共圆,∠B=∠CED,所以cosB=cos∠CED,(8分)
所以
DE
CE
=
CB
AB
,所以BC=2.(10分)
点评:本题考查圆的切线,考查圆内接四边形,解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质.
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10
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)
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