Question

（2012•辽宁模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：ρ=

10

2 sin(θ- π 4 )

，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．
（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）

x=2cosα y=2sinα+2.

消去θ即求出P轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程即为ρ

2

sin(θ-

π

4

)=10，化直角坐标方程为x-y+10=0，利用直线和圆的位置关系可解．或利用点线距结合三角函数知识求解．

解答：解：（Ⅰ）

x=2cosα y=2sinα+2.

且参数α∈[0，2π]，
所以点P的轨迹方程为x²+（y-2）²=4．（3分）
（Ⅱ）因为ρ=

10

2 sin(θ- π 4 )

，所以ρ

2

sin(θ-

π

4

)=10，
所以ρsinθ-ρcosθ=10，所以直线l的直角坐标方程为x-y+10=0．（6分）
法一：由（Ⅰ） 点P的轨迹方程为x²+（y-2）²=4，圆心为（0，2），半径为2.d=

|1×0-1×2+10|

12+12

=4

2

，所以点P到直线l距离的最大值4

2

+2．（10分）
法二：d=

|2cosα-2sinα-2+10|

12+12

=

2

|

2

cos(α+

π

4

)+4|，当α=

7π

4

，dmax=4

2

+2，即点P到直线l距离的最大值4

2

+2．（10分）

点评：本题考查了极坐标方程、普通方程以及转化，考查了点线距的计算．