Question

（2013•资阳一模）函数f(x)=sin2x+2

3

cos2x-

3

，函数g(x)=mcos(2x-

π

6

)-2m+3 (m＞0)，若存在x1， x2∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A．（0，1]
• B．[1，2]
• C．[

  2

  3

  ，2]
• D．[

  2

  3

  ，

  4

  3

  ]

Answer 1

分析：本先分别确定函数的值域，再利用存在x1， x2∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，建立不等式，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：f(x)=sin2x+2

3

cos2x-

3

=2sin（2x+

π

3

）
∵x1∈[0，

π

4

]
∴2x1+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴f（x₁）∈[1，2]
∵x2∈[0，

π

4

]
∴2x2-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]
∴cos(2x2-

π

6

)∈[

1

2

，1]
∵m＞0
∴g(x2)=mcos(2x2-

π

6

)-2m+3 (m＞0)∈[-

3

2

m+3，-m+3]
∵存在x1， x2∈[0，

π

4

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立
∴

- 3 2 m+3≤2 -m+3≥1

∴

2

3

≤m≤2
故选C．

点评：本题考查三角函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，正确求函数的值域是关键．