Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA₁=4．
（1）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁；
（2）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角A-EB₁-B的余弦值是

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，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证CF∥平面AEB₁，只要证CF垂直于平面AEB₁内的一条直线即可，由E是棱CC₁的中点，F是AB中点，可想取AB₁中点，连结后利用三角形中位线知识结合三棱柱为直三棱柱证明四边形FGEC是平行四边形，从而得到线线平行，得到线面平行；
（2）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC₁为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设出E点的坐标，进一步求出二面角A-EB₁-B的两个面的法向量的坐标，然后把二面角的余弦值转化为法向量所成角的余弦值求解E，则结论得到证明．

解答：（1）证明：取AB₁的中点G，联结EG，FG
∵F、G分别是棱AB、AB₁中点，∴FG∥BB₁，FG=

1

2

BB1
又∵FG∥EC，EC=

1

2

CC1，FG=EC，∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG．
∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB；
（2）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC₁为x，y，z轴正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz
则C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，2，4）
设E（0，0，m）（0≤m≤4），平面AEB₁的法向量

n1

=(x，y，z)

AB1

=(-1，2，4)，

AE

=(-1，0，m)．
由

AB1 ⊥ n1 AE ⊥ n1

，得

-x+2y+4z=0 -x+mz=0

，取z=2，得

n1

=(2m，m-4，2)
∵CA⊥平面C₁CBB₁，
∴

CA

是平面EBB₁的法向量，则平面EBB₁的法向量

n2

=

CA

=(1，0，0)
∵二面角A-EB₁-B的平面角余弦值为

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，
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2m

4m2+(m-4)2+4

=

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，解得m=1（0≤m≤4）．
∴在棱CC₁上存在点E，符合题意，此时CE=1．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，利用空间向量求解空间角的关键是正确建立空间右手系，同时注意二面角的平面角与其法向量所成角的关系，是中档题．