Question

已知长为m（m＞0）的线段P₁P₂两端点上在y²=4x上移动．
（1）求P₁P₂中点M的轨迹方程；
（2）求M点到y轴距离的最小值及对应点M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中点为M（x，y），利用，y=t₁+t₂，|P₁P₂|=m，消去t₁，t₂ 即可得到中点的轨迹方程．
（2）通过中点轨迹方程，m≥4，m＜4，求出M点到y轴距离的最小值及对应点M的坐标．
解答：解：（1）设P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中点为M（x，y），则
…①y=t₁+t₂…②
而|P₁P₂|=m∴（t₁²-t₂²）²+（2t₁-2t₂）²=m²…③
由①，②，③（4x-y²）（y²+4）=m²…④
这就是P₁P₂中点的轨迹方程．
（2）由④：．
∵y²+4∈[4，+∞）
当m≥4时，时，
取“=”号．此时：．M点的坐标为．
当m＜4时，由
∵0＜m＜4∴
此时，
∴当m≥4时，M到y轴距离最小值为，M点坐标为．
当0＜m＜4时，M到y轴距离最小值为
点评：本题是中档题，考查曲线的轨迹方程的求法，考查计算能力，转化思想，函数最值的求法．