Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y-4=0，
（1）若直线l过点A（1，0）且被圆C截得的弦长为2，求直线的方程；
（2）已知圆M过圆C的圆心，且与（1）中直线l相切，若圆M的圆心在直线y=x+1上，求圆M的方程．

Answer 1

分析：（1） 根据圆心到直线的距离等于2

2

，求出直线的斜率，即得直线的方程．
（2） 设出圆心坐标，利用圆心到切线的距离等于半径求出半径，再把圆经过的点的坐标代入原方程，
求出圆心坐标，即得圆M的标准方程．

解答：解：（1）C：（x+1）²+（y-2）²=9直线x=1截圆得弦长为2

5

，故l的斜率存在．
设l：y=k（x-1）半径为3，弦长为2，圆心C到l的距离为2

2

，
 

|2k+2|

1+k2

=2

2

，∴k=1，∴l：y=x-1．
（2）设M（a，a+1），∵r=

|a-(a+1)-1|

2

=

2

，∴圆M：（x-a）²+（y-a-1）²=2，
又过C（-1，2）∴（-1-a）²+（1-a）²=2，∴a=0，
故圆M的方程为：x²+（y-1）²=2．

点评：本题考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、以及弦长公式的应用，用待定系数法求圆的方程是一种
常用的方法．