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(2009•普陀区一模)如图,已知圆C:x2+y2=r2与x轴负半轴的交点为A.由点A出发的射线l的斜率为k,且k为有理数.射线l与圆C相交于另一点B.
(1)当r=1时,试用k表示点B的坐标;
(2)当r=1时,试证明:点B一定是单位圆C上的有理点;(说明:坐标平面上,横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道,一个有理数可以表示为
qp
,其中p、q均为整数且p、q互质)
(3)定义:实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.
当0<k<1时,是否能构造“整勾股双曲线”,它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成?若能,请尝试探索其构造方法;若不能,试简述你的理由.
分析:(1)当r=1时,可知A点坐标,就可设出直线l的点斜式方程,代入圆方程,解出B点坐标.
(2)由(1)中求出的用k表示点B的坐标,来判断,当k为有理数时,点B是否为有理点,当B为有理点时,k是否为有理数,证明中用到一个有理数可以表示为
q
p
,即若一个数是有理数,则这个数一定可以表示成
q
p
的形式,若一个数可以表示成
q
p
的形式,则这个数一定为有理数.
(3)先假设当0<k<1时,能构造“整勾股双曲线”,它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成.由(2)中结论,可找到此双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距,都用含p,q,r的式子表示,其中,p,q,r均为整数,且p,q互质.据此求出k值,看是否为整数,若是,则假设成立,若不是,则假设不成立.
解答:解:(1)设点B的坐标为B(x2,y2).由题意,点A的坐标为(-1,0),于是可设射线l的方程
为y=k(x+1),代入圆C的方程可得:x2+k2(x+1)2=1?(1+k2)x2+2k2x+(k2-1)=0.①
方程①中,一个解必为x=-1,则由根与系数关系可知点B的横坐标为x2=
1-k2
1+k2
;代入直线方程可得y2=
2k
1+k2
.∴点B的坐标即为(
1-k2
1+k2
2k
1+k2
)

(2)充分性:设射线l的斜率k=
q
p
(其中p、q均为整数且p、q互质),则由(1)可知x2=
1-(
q
p
)
2
1+(
q
p
)
2
=
p2-q2
p2+q2
y2=
2(
q
p
)
1+(
q
p
)
2
=
2pq
p2+q2
.因为p、q均为整数,所以x2、y2必为一个有理数,从而B点必为一个有理点.
必要性:若B点为有理点,则可设x2=
q1
p1
y2=
q2
p2
(其中p1、q1、p2、q2均为整数且p1和q1互质、p2和q2互质)于是,k=
y2
x2+1
=
q2
p2
p1
p1+q1
,因为p1、q1、p2、q2均为整数,所以k必为一个有理数.
(3)设B点的坐标为(x2,y2).当0<k<1时,B点必定落在第一象限的四分之一圆周上,即x2>0,y2>0.而由x22+y22=r2,所以B的横坐标x2、纵坐标y2以及圆的半径r必能构成某个双曲线的一组实半轴长、虚半轴长和半焦距的数据.由(2)结论可知,此时点B的坐标应为
x2=
|p2-q2
p2+q2
•r
y2=
2pq
p2+q2
•r
其中p、q此时均为正整数且p、q互质.
于是,只要构造圆半径r=(p2+q2)•m(其中m为正整数)时,则会有x2=|p2-q2|•m,y2=2pq•m,它们都为正整数,且满足x22+y22=r2
因此,对于斜率为k=
q
p
(其中p、q均为整数,p>q>0且p、q互质)的斜线l,只需确定圆的半径满足r=(p2+q2)•m(其中m为正整数),则必定能构造“整勾股双曲线”满足题意.
特别地,因为当x2=y2时,点B坐标必为(
2
2
r,
2
2
r)
,而此时射线l的斜率为k=
y2
x2+r
=
2
-1
,不是有理数.∴构造出的双曲线一定不是等轴双曲线,即由x2≠y2,可构造的“整勾股双曲线”的实半轴长、虚半轴长和半焦距长可由
a=x2
b=y2
c=r 
a=y2
b=x2
c=r 
构成,且个数一定为偶数个.
点评:本题主要考查了直线与圆位置关系、冲要条件的证明,以及理解能力、推理能力,解题时要认真理解题意,仔细运算,本题有较大的思维量和运算量
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