Question

已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表

学生的编号i	1	2	3	4	5
数学xi	80	75	70	65	60
物理yi	70	66	68	64	62

（1）假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？
（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系的，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y与x的回归方程；
（3）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在（-0.1，0.1）范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”．
参考数据和公式：

?

y

=bx+a，其中b=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

；

5

i=1

xiyi=23190，

5

i=1

x

2 i

=24750，
残差和公式为：

5

i=1

(yi-

?

y

i)．

Answer 1

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是A₅⁵，满足条件的事件是恰好有两个是自己的实际分，共有2C₅⁵，根据等可能事件的概率得到结果．
（2）分别做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出b的值，再做出a的值，写出线性回归方程，得到结果．
（3）做出残差平方差，得到结果是0，根据所给的残差平方和的范围，得到所求的线性回归方程是一个优拟方程．

解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是A₅⁵，
满足条件的事件是恰好有两个是自己的实际分，共有2C₅⁵，
∴恰有两个人是自己的实际分的概率是

2 C 2 5

A 5 5

=

1

6

（2）

.

x

=70，

.

y

=66，
b=

80×70+75×66+70×68+65×64+60×62-5×70×66

802+752+702+652+602-5× 702

=0.36，
a=40.8，
∴回归直线方程为y=0.36x+40.8．
（3）∵残差和公式为：

5

i=1

(yi-

?

y

i)=0，
∵0∈（-0.1，0.1），
∴回归方程为优拟方程．

点评：本题考查变量间的相关关系，考查回归分析的应用，考查新定义问题，是一个基础题，注意题目的数字运算不要出错．