如图,设抛物线方程为,M为直线
上任意一点,过M引抛物
线的切线,切点分别为A,B
(I)求证A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,一2p)时,.求此时抛物线的方程
(Ⅲ)是否存在点M.使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上,其中,点C满足
(O为坐标原点)若存在。求出所有适合题意的点M的坐标;
若不存在,请说明理由。
(Ⅰ)证明:由题意设A(),B(
),
,M(
)
由,得
,则
,
所以 kMA=,,kMB
因此 直线MA的方程为
直线MB的议程为
所以 ①
②
由①、②得 因此
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列。
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x0=2时,
将其代入①、②并整理得:
所以 x1、x2是方程的两根,
因此
又 ,
所以
由弦长公式得
又
所以 或
因此所求抛物线方程为或
(Ⅲ)解:设D(x3 , y3),由题意得C(x1+x2,y1+y2),
则CD的中点坐标为,
设直线AB的方程为,
由点Q在直线AB上,并注意到点也在直线AB上,
代入得
若D在抛物线上,则
,
因此 或
即D(0,0)或D()。
(1)当x0=0时,则,此时,点M(0,-2p)适合题意。
(2)当,对于D(0,0),此时
。
科目:高中数学 来源: 题型:
10 |
OC |
OA |
OB |
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科目:高中数学 来源: 题型:
10 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
3 | 2 |
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科目:高中数学 来源:2014届河南省许昌市五校高二下学期第一次联考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,设抛物线方程为,
为直线
上任意一点,过
引抛物线的切线,切点分别为
.
(1)求证:三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当点的坐标为
时,
.求此时抛物线的方程。
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科目:高中数学 来源:四川省成都外国语学院高三2010-2011学年9月月考数学试题(理科) 题型:解答题
如图,设抛物线方程为直线
上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B。
(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当M点的坐标为时,
,求此时抛物线的方程;
(3)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上,其中,点C满足
(O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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