Question

已知f（x）=x³+bx²+cx-b（b＜0）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，在f（x）的图象上是否存在一点M，使得f（x）在点M的切线斜率为2b？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，知x=0是f（x）的一个极值点，从而可得结论；
（II）确定A，B为f（x）的极值点，利用函数f（x）在区间[m，n]上存在零点，根据零点存在定理，即可求实数b的取值范围；
（III）先确定-6≤b≤-3，再假设存在点M（x₀，y₀）使得f（x）在M处切线斜率为2b，则f'（x₀）=2b，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2bx+c，…（1分）
由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
知x=0是f（x）的一个极值点．…（2分）
∴f'（0）=0，得c=0．…（3分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得3x²+2bx=0，∴x1=0，x2=-

2

3

b(b＜0)．…（4分）
∵f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，
∴A，B为f（x）的极值点．…（5分）
则m=0，n=-

2

3

b(b＜0)．…（6分）
又f(0)=-b，f(-

2

3

b)=

4

27

b3-b
若f（x）在[0，-

2

3

b]上存在零点．
∵f（0）=-b＞0，
则f(-

2

3

b)=

4

27

b3-b≤0．…（7分）
∵b＜0，∴

4

27

b2≥1，b2≥

27

4

，∴b≤-

3 3

2

．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知由f'（x）=0，
得x1=0，x2=-

2

3

b(b＜0)．
∵f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，f'（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的符号，…（9分）
∴2≤-

2

3

b≤4，
即-6≤b≤-3．…（10分）
假设存在点M（x₀，y₀）使得f（x）在M处切线斜率为2b，
则f'（x₀）=2b，即3x²₀+2bx₀-2b=0，…（11分）
△=4b²+24b=4（b²+6b）=4（b+3）²-3b，
∵-6≤b≤-3，∴-3b≤△≤0，…（12分）
当b=-6时，△=0，
由3x02-12x0+12=0得x0=2，
故存在这样点M，坐标为（2，-10）．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．