Question

19．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD的中心为O，E为BC的中点，如图
  （1）求证：B₁O∥平面A₁C₁D； 
  （2）求证：BD₁∥平面C₁DE； 
  （3）求证：平面A₁C₁D∥平面B₁CO．

Answer 1

分析 （1）连接B₁D₁与A₁C₁交于O₁，连接O₁D．可得O₁B₁∥DO．O₁B₁=DO，从而可证B₁O∥O₁D．即可判定B₁O∥平面A₁C₁D．
（2）连接CD₁与C₁D交于F，连接EF，可证EF∥BD₁，即可证明BD₁∥平面C₁DE．
（3）连接AB₁，可得四边形A₁B₁CD为平行四边形，可证B₁C∥A₁D．同理可证：AC∥A₁C₁．即可证明平面A₁C₁D∥平面AB₁C，即证明平面A₁C₁D∥平面B₁CO．

解答
证明：（1）如图（1），连接B₁D₁与A₁C₁交于O₁，连接O₁D．
可得在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，O₁B₁与DO共面，
∴O₁B₁∥DO．
∵O为底面ABCD的中心，
∴O₁B₁=DO，
∴四边形O₁B₁OD为平行四边形，
∴B₁O∥O₁D．
∵B₁O?平面A₁C₁D，O₁D?平面A₁C₁D，
∴B₁O∥平面A₁C₁D．
（2）证明：如图（2），连接CD₁与C₁D交于F，连接EF．
可得在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，F为CD₁的中点，又E为BC中点，
∴EF为△CD₁B的中位线，
∴EF∥BD₁，
∵BD₁?平面C₁DE，EF?平面C₁DE，
∴BD₁∥平面C₁DE．
（3）证明：如图（3），连接AB₁，
可得在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，A₁B₁∥DC，且A₁B₁=DC，
∴四边形A₁B₁CD为平行四边形，
∴B₁C∥A₁D．同理可证：AC∥A₁C₁．
又AC∩B₁C=C，A₁C₁∩A₁D=A，
∴平面A₁C₁D∥平面AB₁C，即平面A₁C₁D∥平面B₁CO．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．