Question

9．在△ABC中，角A，B、C的对边分别为a，b，c，且向量$\overrightarrow{m}$=（sin（A-B），a²-b²）与向量$\overrightarrow{n}$=（sin（A+B），a²+b²）共线，若角c=120°，则角A=30°．

Answer 1

分析 由已知结合向量共线可得（a²+b²）sin（A-B）-（a²-b²）sin（A+B）=0，展开两角和与差的正弦，再利用正弦定理化边为角，可得sin2B=sin2A，再由c=120°，可得A=B=30°．

解答 解：由$\overrightarrow{m}$=（sin（A-B），a²-b²）与$\overrightarrow{n}$=（sin（A+B），a²+b²）共线，
可得（a²+b²）sin（A-B）-（a²-b²）sin（A+B）=0，
即（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB）-（a²-b²）（sinAcosB+cosAsinB）=0．
整理得：b²sinAcosB-a²cosAsinB=0，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2R$，代入上式得sin²BsinAcosB-sin²AcosAsinB=0，
∵A，B为三角形的内角，∴sinA•sinB≠0，得
sinBcosB-sinAcosA=0，即sin2B=sin2A，
∵c=120°，∴A=B=30°．
故答案为：30°．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了正弦定理在解三角形中的应用，是中档题．