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(2012•奉贤区二模)数列{an} 的各项均为正数,a1=t,k∈N*,k≥1,p>0,an+an+1+an+2+…+an+k=6pn
(1)当k=1,p=5时,若数列{an}是成等比数列,求t的值;
(2)当t=1,k=1时,设Tn=a1+
a2
p
+
a3
p2
+…+
an-1
pn-1
+
an
pn-1
,参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法,求证:数列
1+p
p
Tn-
an
pn
-6n
是一个常数;
(3)设数列{an}是一个等比数列,求t(用p,k的代数式表示).
分析:(1)由an+an+1=6•5nan+1+an+2=6•5n+1,得到等比数列(an}的公比q=5,由此能求出t的值.
(2)Tn=a1+
a2 
p
+
a3
p2
+…+
an-1
pn-2
+
an
pn-1
1
p
T
n
=a1+
a1+a2
p
+
a2+a3
p2
+…+
an-1+an
pn-1
+
an
pn
,由此能够证明
1+p
p
Tn-
an
Pn
-6n
=a1-6=-5.
(3)an+an+1+an+2+…+an+k=6pnan+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1,数列{an}是一个等比数列,所以求出公比为p,由此能求出t.
解答:解:(1)an+an+1=6•5n
an+1+an+2=6•5n+1,…(2分)
设等比数列(an}的公比是q,
an+an+1=6•5n•5,
∴q=5,…(4分)
n=1时,t+5t=30,∴t=5.…(5分)
(2)证明:Tn=a1+
a2 
p
+
a3
p2
+…+
an-1
pn-2
+
an
pn-1

1
p
T
n
=a1+
a1+a2
p
+
a2+a3
p2
+…+
an-1+an
pn-1
+
an
pn
,…(7分)
∴(1+
1
p
)Tn=2a1+
a1+2a2
p
+
a2+2a3
p2
+…+
an-1+2an
pn-1
+
an
pn
=a1+6n-6+
an
pn
,…(9分)
1+p
p
Tn-
an
Pn
-6n
=a1-6=-5.…(10分)
(3)an+an+1+an+2+…+an+k=6pn
an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1,…(11分)
数列{an}是一个等比数列,所以求出公比为p,…(13分)
∴t(pn-1+pn+…+pn+k-1)=6pn,…(15分)
当p=1时,t(k+1)=6,∴t=
6
k+1
,…(16分)
当p≠1,且p>0时,t
pn-1(1-pk+1)
1-p
=6pn
∴t=
6p(1-p)
1-pk+1
.…(17分)
点评:本题考查数列的综合运用,综合性强,难度大,对数学思维的要求较高,有一定的探索性,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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