如图，矩形
所在的平面和平面
互相垂直，等腰梯形中，
∥
，
=2，
，
，
，
分别为，
的中点，
为底面
的重心.
（1）求证：
∥平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
（1）见解析；（2）
.
解析试题分析：（1）平行关系的证明问题问题，要注意三角形中位线定理的应用，注意平行关系的传递性，以及线线关系、线面关系、面面关系的相互转化；
（2）立体几何中的求角问题，往往有两种思路，即“几何法”和“向量法”.本题应用“几何法”，应注意“一作，二证，三计算”，注意在直角三角形中解决问题；
应用“向量法”，要注意利用已有的垂直关系，一建立空间直角坐标系.
本题建系后，确定点的坐标及平面的法向量为
， 及
计算得到 
，利用角的“互余”关系，即得直线与平面所成角的正弦值为.
试题解析：（1）连结
延长交
于
，则为的中点，又为的中点，
∴
∥
，又∵
平面，∴∥平面 2分
连结
，则∥，
平面，∥平面 4分
∴平面
∥平面， 5分
平面，
6分
（2）
矩形
所在的平面和平面
互相垂直，
所以
平面，又平面
，所以
7分
又
，
，，
由余弦定理知
，
得
8分
∴
⊥平面
9分
所以
为直线与平面所成的角， 10分
在直角三角形
中
12分
法二：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
7分
设平面的法向量为，
英才点津系列答案
红果子三级测试卷系列答案
课堂练加测系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝
，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝
BD．
（1）若PM＝PA，求证：MN⊥AD；
（2）若二面角M－BD－A的大小为
，求线段MN的长度．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝
，b＝
.
(1)求a和b的夹角θ；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B1B、DA的中点．
(1)求二面角D1-AE-C的大小；
(2)求证：直线BF∥平面AD1E.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.
(1)求证:AE⊥平面A1BD.
(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.
(3)求点B1到平面A1BD的距离.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA
底面ABCD，且SA＝2，AD＝DC＝1
（1）若点E在SD上，且
证明：
平面
；
（2）若三棱锥S－ABC的体积
，求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值的大小
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求
的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝
，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．
(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；
(2)求B点到平面PCD的距离；
(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝
.
(1)求证：平面EAB⊥平面ABCD；
(2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．
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