Question

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥ 平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O为BC的中点．
（1）求证：AO∥平面DEF；
（2）求证：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值．

Answer 1

证明：（1）取DE中点G，以BC中点O为原点，OC、OA分别为x、y轴，建系如图空间坐标系，则可得
A（0，，0）、B（﹣1，0，0）、C（1，0，0）、D（﹣1，0，1）、
E（1，0，3）、F（0，，2）、G（0，0，2），
∴=（2，0，2），=（1，，1）．
设平面DEF的一法向量=（x，y，z），则
即，
取x=1，则y=0，z=﹣1，
可得=（1，0，﹣1），
∵=（0，，0），=0，
∴⊥．又OA平面DEF，
∴OA∥平面DEF．
（2）因为直线AO是平面BCDE的一条垂线，
∴平面BCED的一法向量为=（0，，0），
∵=0，平面BCED的法向量与平面DEF的法向量互相垂直
∴平面DEF⊥平面BCED
（3）由（1）知平面DEF的一个法向量=（1，0，﹣1），
平面ABC即xOy坐标平面，可得它的一个法向量=（0，0，1），
∵=﹣1，=，=1
∴cos＜，＞==﹣
∴求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为|cos＜，＞|=．