Question

4．已知$α∈（0，\frac{π}{2}），sin（\frac{π}{4}-α）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
（1）求tan2α的值；
（2）求$\frac{{sin（α+\frac{π}{4}）}}{sin2α+cos2α+1}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（$\frac{π}{4}$-α）的值，利用两角差的余弦函数公式可求cosα，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinα，tanα的值，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．
（2）利用两角和的正弦函数公式，二倍角公式化简所求即可计算得解．

解答 解：（1）∵$α∈（0，\frac{π}{2}），sin（\frac{π}{4}-α）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴$\frac{π}{4}$-α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），可得：cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（\frac{π}{4}-α）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cosα=cos（$\frac{π}{4}$-α-$\frac{π}{4}$）=cos（$\frac{π}{4}$-α）cos$\frac{π}{4}$+sin（$\frac{π}{4}$-α）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin$α=\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{2}$，tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$．
（2）$\frac{{sin（α+\frac{π}{4}）}}{sin2α+cos2α+1}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα+cosα）}{2sinαcosα+2co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{2}}{4cosα}$=$\frac{\sqrt{2}}{4×\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角的正切函数公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．