Question

如图，P是抛物线y²=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．

Answer 1

分析：设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），设b＞c．直线PB：y-b=

y0-b

x0

x，化简，得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，由圆心（1，0）到直线PB的距离是1，知

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，由此导出（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理，（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，所以（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

，从而得到S_△PBC=

1

2

(b-c)x0，由此能求出△PBC面积的最小值．

解答：解：设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），设b＞c．
直线PB的方程：y-b=

y0-b

x0

x，
化简，得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
∵圆心（1，0）到直线PB的距离是1，
∴

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
∴（y₀-b）²+x₀²=（y₀-b）²+2x₀b（y₀-b）+x₀²b²，
∵x₀＞2，上式化简后，得
（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理，（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
∴b+c=

-2y0

x0-2

，bc=

-x0

x0-2

，
∴（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

，
∵P（x₀，y₀）是抛物线上的一点，
∴y02=2x0，
∴（b-c）²=

4x02

(x0-2)2

，b-c=

2x0

x0-2

，
∴S_△PBC=

1

2

(b-c)x0
=

x0

x0-2

•x0
=（x₀-2）+

4

x0-2

+4
≥2

4

+4=8．
当且仅当x0-2=

4

x0-2

时，取等号．
此时x₀=4，y₀=±2

2

．
∴△PBC面积的最小值为8．

点评：本昰考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用．