Question

若f(x)=|lgx|，0＜a＜b，f(a)=f(b)=2f(

a+b

2

)，则b的值所在的区间为（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，3）
• C、（3，4）
• D、（4，5）

Answer 1

分析：结合f（x）的图象和已知条件，先找出a和b的关系，解题的关键是判断a和b与1的大小，去绝对值，再找出

a+b

2

和a或b的关系，转化为求方程根的范围，利用零点的存在性定理解决．

解答：解：f(x)=|lgx|=

lgx      lgx＞0 -lgx     lgx＜0

=

lgx   x＞1 -lgx  x＜1

故f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，且f（x）＞0．
由0＜a＜b，f（a）=f（b）得0＜a＜1，b＞1，故-lga=lgb，即lga+lgb=lgab=0，ab=1．
∴

a+b

2

＞

ab

=1，∴lg

a+b

2

＞0
由f(b)=2f(

a+b

2

)得lgb=2lg

a+b

2

=lg(

a+b

2

)2，所以b= (

a+b

2

)2
由ab=1得4b=(

1

b

+b)2，令g（b）=4b-(

1

b

+b)2，则g（3）＜0，g（4）＞0，故b∈（3，4）
故选C

点评：本题考查对数函数的性质、方程的根和函数的零点的关系，综合性较强．