Question

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）求回归直线方程

y

=bx+a，其中b=-20，a=

.

y

-b

.

x

；并据此预测当销售单价定为9.5元时销量约为多少件？
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是 7元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

Answer 1

分析：（1）分别求出

.

x

，

.

y

，由此能求出回归直线方程

y

=-20x+250，由此能求出当销售单价定为9.5元时销量约为60件．
（2）设工厂获得的利润为L元，依题意得L=x（-20x+250）-7（-20x+250）=-20x²+390x-1750，由此能求出当单价定为9.75元时，工厂可获得最大利润．

解答：解：（1）∵

.

x

=

1

6

(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，

.

y

=

1

6

(90+84+83+80+75+68)=80，（2分）
∴a=

.

y

-b

.

x

=80+20×8.5=250，
∴回归直线方程

y

=-20x+250．（4分）
当x=9.5时，

y

=-20×9.5+250=60
∴当销售单价定为9.5元时销量约为60件． （6分）
（2）设工厂获得的利润为L元，依题意得
L=x（-20x+250）-7（-20x+250）
=-20x²+390x-1750（8分）
=-20(x-

39

4

)2+151.25．（10分）
当且仅当x=9.75时，L取得最大值．  （11分）
故当单价定为9.75元时，工厂可获得最大利润． （12分）

点评：本题考查回归直线方程的求法和应用，考查最大利润的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．