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如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量cos A,cos C.
 
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
(1)1040 m(2)min(3)
(1)在△ABC中,因为cos A,cos C,所以sin A
sin C.
从而sin B=sin[π-(AC)]=sin(AC)=sin Acos C+cos Asin C××.

由正弦定理,得AB×sin C=1040(m).
所以索道AB的长为1040 m.
(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t=200(37t2-70t+50),因0≤t,即0≤t≤8,故当t (min)时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理,得BC×sin A×=500(m).
乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤≤3,解得v,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在 (单位:m/min)范围内
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