Question

9．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足bsinA+bcosA=c．
（1）求B；
（2）若角A的平分线与BC相交于D点，AD=AC，BD=2求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，求出tanB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；
（2）由AD=AC得∠ACD=∠ADC，设∠DAC=∠BAD=α，∠ACD=∠ADC=β，由内角和定理列出方程组求出α、β，由正弦定理求出AB、AD、AC，由余弦定理列出式子化简后求出CD的值．

解答 解：（1）由bsinA+bcosA=c以及正弦定理得，
sinBsinA+sinBcosA=sinC=sin（A+B），
化简得，sinBsinA-sinAcosB=0，
又sinA≠0，则sinB=cosB，即tanB=1，
因为0＜B＜180°，所以B=45°；
（2）由AD=AC得，∠ACD=∠ADC，
设∠DAC=∠BAD=α，∠ACD=∠ADC=β，
则$\left\{\begin{array}{l}{45°+2α+β=180°}\\{α+2β=180°}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{α=30°}\\{β=75°}\end{array}\right.$，
在△ABD中，∠BAD=30°，∠ADB=105°
由正弦定理得，$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sin∠ABD}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，
则$\frac{AB}{sin105°}=\frac{AD}{sin45°}=\frac{2}{sin30°}=4$，
所以AB=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，AD=$2\sqrt{2}$，则AC=$2\sqrt{2}$，
由余弦定理得，CD²=AD²+AC²-2•AD•AC•cos∠DAC
=8+8-2×$2\sqrt{2}$×$2\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$4（\sqrt{3}-1）^{2}$，
所以CD=$2（\sqrt{3}-1）$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及诱导公式、两角和的正弦公式等等的应用，考查方程思想，化简、变形能力．