Question

17．f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 问题转化为|x+t|≥|$\sqrt{2}$x|在[t，t+2]恒成立，去掉绝对值，得到关于t的不等式，求出t的范围即可．

解答 解：f（x）=x²，x∈[t，t+2]，
不等式f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x）在[t，t+2]恒成立，
即|x+t|≥|$\sqrt{2}$x|在[t，t+2]恒成立，
即：x≤（1+$\sqrt{2}$）t在[t，t+2]恒成立，
或x≤（1-$\sqrt{2}$）t在[t，t+2]恒成立，
解得：t≥$\sqrt{2}$或t≤-$\sqrt{2}$，
故答案为：（-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．