Question

8．设函数$f（x）=sin（{x+\frac{π}{2}}）（{\sqrt{3}sinx+cosx}），x∈R$．
（I）求f（x）的最小正周期及值域；
（II）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$f（A）=1，a=\sqrt{3}，b+c=3$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由诱导公式、二倍角公式及变形、两角和的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期，由条件和正弦函数的值域求出f（x）的值域；
（Ⅱ）由（I）化简f（A）=1，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A，由余弦定理列出方程化简后，把数据代入求出bc的值，由三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=sin（x+\frac{π}{2}）（\sqrt{3}sinx+cosx）=cosx（\sqrt{3}sinx+cosx）$--------1分）
=$\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，----（3分）
所以f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，-------------------------------（4分）
∵x∈R，∴$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-1，1]$，则$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}∈[-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$，
∴函数f（x）的值域为$[-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$．--------------（6分）
（Ⅱ）由（I）得$f（A）=sin（2A+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=1$，
则$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π得$2A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，∴$A=\frac{π}{3}$------（8分）
由余弦定理得，${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc，
又a=$\sqrt{3}$，b+c=3，解得bc=2-----------------------（10分）
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-------（12分）

点评 本题考查余弦定理，正弦函数的值域，三角函数的周期公式，三角形的面积公式，以及诱导公式、二倍角公式及变形、两角和的正弦公式等等的应用，考查化简、变形能力．