Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2$\sqrt{5}$，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 利用已知条件列出方程求出双曲线的几何量，a，b，c，然后求解双曲线的顶点到渐近线的距离．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2$\sqrt{5}$，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，
可得c=$\sqrt{5}$，$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²+b²=5，解得a=2，b=1，
双曲线的顶点（2，0）到渐近线x+2y=0的距离为：$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．