Question

3．如图，过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞1）上顶点和右顶点分别作圆x²+y²=1的两条切线的斜率之积为-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则椭圆的离心率的取值范围是$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

Answer 1

分析 由题意设出两切线方程，由点到直线的距离公式可得a与k，b与k的关系，代入椭圆离心率可得e与k的关系，求出函数值域得答案．

解答 解：由题意设两条切线分别为：y=kx+b，y=-$\frac{\sqrt{2}}{2k}$（x-a）（k≠0），
由圆心到两直线的距离均为半径得：
$\frac{b}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{4{k}^{2}+2}}=1$，
化简得：b²=k²+1，a²=2k²+1．
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{1}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}}$（k≠0）．
∴0＜e＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了点到直线距离公式的应用，训练了函数值域的求法，是中档题．