Question

14．已知函数f（x）=x+alnx与g（x）=3-$\frac{b}{x}$的图象在点（1，1）处有相同的切线．
（1）若函数y=2（x+m）与y=f（x）的图象有两个交点，求实数m的取值范围；
（2）设函数F（x）=3（x-$\frac{m}{2}$）+$\frac{m}{2}$g（x）-2f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：F（x₂）＜x₂-1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出f（x）的解析式，设T（x）=f（x）-2x-2m=lnx-x-2m，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）求出F（x）的导数，等价于方程x²-2x+m=0在（0，+∞）内有2个不等实根，根据函数的单调性证明结论即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，g′（x）=$\frac{b}{{x}^{2}}$，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{1+a=b}\\{1=3-b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$；
∴f（x）=x+lnx，
设T（x）=f（x）-2x-2m=lnx-x-2m，则T′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
当x∈（0，1）时，T′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，T′（x）＜0，
∴T（x）_max=T（1）=-1-2m，
∵x→0时，T（x）→-∞，
x→+∞时，T（x）→-∞，
故要使两图象有2个交点，只需-1-2a＞0，解得：a＜-$\frac{1}{2}$，
故实数a的范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
（2）证明：由题意，函数F（x）=x-$\frac{m}{x}$-2lnx，其定义域是（0，+∞），
F′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+m}{{x}^{2}}$，
令F′（x）=0，即x²-2x+m=0，其判别式△=4-4m，
函数F（x）有2个极值点x₁，x₂，
等价于方程x²-2x+m=0在（0，+∞）内有2个不等实根，
又x₁x₂＞0，故0＜m＜1，
∴x₂=1+$\sqrt{1-m}$且1＜x₂＜2，m=-${{x}_{2}}^{2}$+2x₂，
F （x₂）-x₂+1=x₂-2lnx₂-1，
令h（t）=t-2lnt-1，1＜t＜2，
则h′（t）=$\frac{t-2}{t}$，
由于1＜t＜2，则h′（t）＜0，
故h（t）在（1，2）递减，
故h（t）＜h（1）=1-2ln1-1=0，
∴F（x₂）-x₂+1=h（x₂）＜0，
∴F（x₂）＜x₂-1．

点评 本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值研究不等式恒成立问题，考查运算求解能力、函数与方程思想．