Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4
（1）若f（x）在x=

4

3

处取得极值，求函数f（x）的单调区间．
（2）若存在x₀∈（0，+∞），时，使得不等式f（x₀）＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导数，再利用导数与极值的关系，即可求出a的值，从而可求函数f（x）的单调区间．
（2）存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解，分离参数，即不等式 a＞x+

4

x2

在（0，+∞）上有解即可，从而令 g(x)=x+

4

x2

，只需要a＞g（x）_min，转化为求函数的最小值．

解答：解：（1）f'（x）=-3x²+2ax，由题意得 f′(

4

3

)=0，解得a=2，此时f′(x)=-3x(x-

4

3

)，
可知函数在（0，

4

3

）上，f′（x）＞0，函数单调增，在（-∞，0），(

4

3

，+∞)上，f′（x）＜0，函数单调减，
所以函数单调增区间为（0，

4

3

），函数单调减区间为（-∞，0），(

4

3

，+∞)．
（2）根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式 a＞x+

4

x2

在（0，+∞）上有解即可．
令 g(x)=x+

4

x2

，只需要a＞g（x）_min
而 g(x)=x+

4

x2

=

x

2

+

x

2

+

4

x2

≥3

3	x 2 • x 2 • 4 x2

=3，当且仅当

x

2

=

4

x2

，即x=2时“=”成立．
故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．

点评：本题以函数为载体，考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，体现了转化的思想方法．其中问题（2）转化为不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解，再利用分离参数法是解题的关键．