Question

12．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，若以A，B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{2}$

Answer 1

分析 设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，由余弦定理可得OC，cos∠COB，求得tan∠COB，即为渐近线的斜率，由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到．

解答 解：设AB=BC=2，
取AB的中点为O，
由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，
在三角形OBC中，
cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴OC²=OB²+BC²-2OB•BC•cosB=1+4-2×1×2×（-$\frac{1}{2}$）=7，
∴OC=$\sqrt{7}$，
则cos∠COB=$\frac{7+1-4}{2\sqrt{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
可得sin∠COB=$\sqrt{1-\frac{4}{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
tan∠COB=$\frac{sin∠COB}{cos∠COB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得双曲线的渐近线的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
不妨设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．