Question

（2012•湖南模拟）已知向量

a

=(2sinx，

3

cosx)，

b

=(-sinx，2sinx)，函数f(x)=

a

•

b

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，ab=2

3

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意结合数量积的定义可得f（x）的解析式，由整天法可求单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得f(C)=2sin(2C+

π

6

)-1=1（2C+

π

6

）=1，进而可得C=

π

6

，结合余弦定理和ab=2

3

结合可解答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：f(x)=-2sin2x+2

3

sinxcosx=
-1+cos2x+2

3

sinxcosx=

3

sin2x+cos2x-1=2sin(2x+

π

6

)-1（3分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)．（5分）
所以f（x）的单调增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得f(C)=2sin(2C+

π

6

)-1=1（2C+

π

6

）=1
∵C是三角形内角，∴2C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

6

，（7分）
∴cosC=

b2+a2-c2

2ab

=

3

2

，即a²+b²=7． （9分）
将ab=2

3

代入可得a2+

12

a2

=7，解之得：a²=3或4，
∴a=

3

或2，∴b=2或

3

，（11分）
∵a＞b，∴a=2，b=

3

． （12分）

点评：本题为三角函数和解三角形的综合应用，涉及余弦定理，属中档题．