Question

在△ABC中，顶点A（-1，0），B（1，0），动点D、E满足：
①

DA

+

DB

+

DC

=

0

；
②|

EC

|=

3

|

EA

|=

3

|

EB

|；
③

DE

与

AB

共线．
（1）求△ABC顶点C的轨迹方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同的交点M、N，就一定有

OM

•

ON

=0？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设C（x，y），求出D，E的坐标，利用|

EC

|=

3

|

EA

|得△ABC顶点C的轨迹方程；
（2）分类讨论，设其方程为y=kx+m，代入椭圆的方程，利用

OM

•

ON

=0，直线MN：y=kx+m与圆x²+y²=r²相切，从而可得结论．

解答： 解：（1）设C（x，y），由

DA

+

DB

+

DC

=

0

得，动点D的坐标为（

x

3

，

y

3

）；
由|

EA

|=|

EB

|得，动点E在y轴上，再结合

DE

与

AB

共线共线，得动点E的坐标为（0，

y

3

）；                 
由|

EC

|=

3

|

EA

|得

x2+(y- y 3 )2

=

3

•

1+ y2 9

，整理得

y2

27

+

x2

3

=1．
因为△ABC的三个顶点不共线，所以y≠0，
故△ABC顶点C的轨迹方程为得

y2

27

+

x2

3

=1（y≠0）．
（2）假设存在这样的圆，其方程为x²+y²=r²（r＞0），
当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆的方程，
得（k²+9）x²+2kmx+m²-27=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2km

k2+9

，x₁x₂=

m2-27

k2+9

x₁由

OM

•

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，
∴得m2=

27

10

(k2+1)．…9分
又直线MN：y=kx+m与圆x²+y²=r²相切知：r=

|m|

1+k2

．
所以r²=

27

10

，即存在圆x²+y²=

27

10

满足题意；
当直线MN的斜率不存在时，可得x₁=x₂=

27 10

，y₁=-y₂=

27 10

满足

OM

•

ON

=0．
综上所述：存在圆x²+y²=

27

10

满足题意．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．