Question

已知函数f（x）=|log₂（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）.
求证：（1）m+n＞0；
（2）f（m²）＜f（m+n）＜f（n²）.

Answer 1

证明略

由f（m）=f（n），得|log₂（m+1）|=|log₂（n+1）|，即log₂（m+1）=±log₂（n+1），
log₂（m+1）=log₂（n+1），                                          ①
或log₂（m+1）=log₂.                                           ②
由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去.
由②得m+1=，即（m+1）（n+1）="1.                    " ③
∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0.
由③得mn+m+n=0，m+n=－mn＞0.
证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.
∵0＜m+1＜n+1，∴＞=1.∴m+n+2＞2.∴m+n＞0.
（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log₂（x+1）|=log₂（x+1）在（0，+∞）上为增函数.
由（1）知m²－（m+n）=m²+mn=m（m+n），且m＜0，m+n＞0，∴m（m+n）＜0.
∴m²－（m+n）＜0，0＜m²＜m+n.
∴f（m²）＜f（m+n）.
同理，（m+n）－n²=－mn－n²=－n（m+n）＜0，
∴0＜m+n＜n².∴f（m+n）＜f（n²）.
∴f（m²）＜f（m+n）＜f（n²）.