Question

已知直角坐标平面中有两个定点M（-1，0）、N（1，0），问在此平面内是否存在一点P，使得下面两个条件：
（1）P到M的距离与P到点N距离的比为

2

（2）点N到直线PM的距离为

2

同时成立？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由（1）的条件P到点M（-1，0）距离与到点N（1，0）距离的比为

2

，利用两点间的距离公式可得

|PM|

|PN|

=

2

，

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

，化简即可得到一个方程；
（2）令l_PM：y=k（x+1），kx-y+k=0可得点N到直线PM的距离d=

|2k|

k2+1

=

2

，即可解得k．与（1）圆的方程联立即可解得．

解答：解：（1）设P（x，y），因P到点M（-1，0）距离与到点N（1，0）距离的比为

2

．
即

|PM|

|PN|

=

2

，

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

，
化简得：x²-6x+y²+1=0．
（2）令l_PM：y=k（x+1），kx-y+k=0
点N到直线PM的距离d=

|2k|

k2+1

=

2

，k=±1．
∴直线PM方程是y=±（x+1）．
由

y=±(x+1) x2-6x+y2+1=0

得：x²-2x+1=0，解得x=1．
代入得y²=4，解得y=±2．
∴P（1，±2）．
所以存在这样的P点（1，2）、（1，-2）使条件（1）（2）同时成立．

点评：熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等是解题的关键．