Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=

7 -6 4 -3

，向量

ξ

=

6 5

．
（I）求矩阵M的特征值λ₁、λ₂和特征向量

ξ

1和

ξ2

；
（II）求M⁶

ξ

的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=2

2

．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
（3）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知：a、b、c∈R₊，求证：a²+b²+c²≥

1

3

(a+b+c)2；    
（Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值．

Answer 1

分析：（1）（I）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（II）由

ξ

=m

ξ1

+n

ξ2

得

m+3n=6 m+2n=5

，得m，n，再利用m，n的值结合幂的计算公式求出答案；
（2）（I）首先把直线和圆的极坐标方程利用两角差的正弦函数的公式代入x=ρcosθ，y=ρsinθ和化简为平面直角坐标系中的直线方程，
（II）利用三角函数的基本关系及 条件中圆的参数方程化简得到圆的一般式方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后即可求出曲线上P到直线l的距离的最大值即可．
（3）（I）根据柯西不等式直接证明即可；
（II）不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a、b、c，故有a+b+c=3，再利用（I）中的结论即可求出对角线长长的最小值．

解答：（1）解：（I）M=

7 -6 4 -3

的特征多项式为f(λ)=

.

λ-7 6 -4 λ+3

.

=λ2-4λ+3
令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=31，λ₁=2，λ₂=3…（2分）
当λ₁=2，λ₂=31时，得

ξ1

=

1 1

；当λ₂=3时，得

ξ2

=

3 2

…（4分）
（II）由

ξ

=m

ξ1

+n

ξ2

得

m+3n=6 m+2n=5

，得m=3，n=1…（5分）
∴M6

ξ

=M6(3

ξ1

+

ξ2

)=3(

λ

6 1

ξ1

)+

λ

6 2

ξ2

=

2190 1460

…（7分）
（2）解：（Ⅰ）ρcos(θ-

π

4

)=2

2

化简为ρcosθ+ρsinθ=4，
∴直线l的直角坐标方程为x+y=4；   …（3分）
（Ⅱ）设点P的坐标为（2cosα，sinα），
得P到直线l的距离d=

|2cosα+sinα-4|

2

，…（5分）
即d=

| 5 sin(α+φ)-4|

2

，其中cosφ=

1

5

，sinφ=

2

5

．
当sin（α+φ）=-1时，dmax=2

2

+

10

2

．  …（7分）
（3）解：（Ⅰ）a，b，c∈R₊，根据柯西不等式有：（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a•1+b•1+c•1）²，
即a2+b2+c2≥

1

3

(a+b+c)2，当且a=b=c时等式成立．…（4分）
（Ⅱ）不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a、b、c，
故有a+b+c=3，其对角线长l=

a2+b2+c2

≥

1 3 (a+b+c)2

=

3

，
当且仅当a=b=c=1时对角线长取得最小值

3

．…（7分）

点评：本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及圆的参数方程和直线的参数方程，以及不等式的证明等基础知识，是一道综合题，属于中档题．