Question

本小题满分14分）

如图,已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，设AB、PB、PC的中点分别为D、E、F，

若过D、E、F的平面与AC交于点G．

（Ⅰ）求证点G是线段AC的中点；

（Ⅱ）判断四边形DEFG的形状，并加以证明；

（Ⅲ）若PA=8，AB=8，BC=6，AC=10，求几何体BC-DEFG的体积．

 

Answer 1

【答案】

DEFG为矩形,

【解析】解：（Ⅰ）∵ED∥PA，则PA∥平面DEFG，而PA平面APC，

平面DEFG平面APC=FG，∴PA∥FG，

又F为PC的中点，因此G为AC的中点；……………………4分 

（Ⅱ）∵点E、D分别AB、PB中点，则∴ED∥PA，且EDPA，

同理FG∥PA，且FGPA，∴ED∥FG，且ED=FG，

∴DEFG为平行四边形，由于PA⊥平面ABC，而 ED∥PA，

∴ED⊥平面ABC，∴ED⊥DG，因此DEFG为矩形. ………………9分 

（Ⅲ）取PA的中点K，连结KE、KF，则多面体PA—DEFG分成

三棱锥P—KEF和三棱柱KEF—ADG，则多面体PA—DEFG的体积为；

多面体BC—DEFG的体积为=；………………… 14分