Question

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2。设该数列的前n项和为S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，…，2k-1），其中常数a＞1，
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若，数列{b_n}满足b_n=log₂（a₁a₂…a_n）（n=1，2，…，2k），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中的数列{b_n}满足不等式，求k的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：当n=1时，a₂=2a，则；
当2≤n≤2k-1时，，
∴，即，
∴，
故数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得（n=1，2，…，2k），
∴，
（n = 1，2，…，2k），
即数列{b_n}的通项公式为（n=1，2，…，2k）；
（Ⅲ）设，解得，
又n为正整数，于是可得：当n≤k时，；当n≥k+1时，，




，
由，得，
又整数k≥2，
∴当k=2，3，4，5，6，7时，原不等式成立，
故k的值为2，3，4，5，6，7。