Question

已知椭圆C：的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由 ，得 ．…（2分）
依题意△MB₁B₂是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．…（4分）
所以椭圆C的方程是．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m²+9）y²+16my-20=0．…（7分）
所以 ，．…（8分）
若PF平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0．…（9分）
设P（a，0），则有 ．
将 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得 ，
所以 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．…（12分）
将 ，代入上式，整理得 （-2a+9）•m=0．…（13分）
由于上式对任意实数m都成立，所以 ．
综上，存在定点，使PM平分∠APB．…（14分）
分析：（Ⅰ）利用离心率为，可得，由椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂，可得△MB₁B₂是等腰直角三角形，由此可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设线AB的方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理，结合PF平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查存在性问题的探究，属于中档题．