Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2a,BB₁=3a,D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点.

（1）求直线BE与A₁C的夹角.

（2）线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF？若存在，求出||，若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系B-xyz.

因为AC=2a，∠ABC=90°，

所以AB=BC=a.

所以B（0，0，0），A（a,0，0），C（0，a，0），B₁（0，0，3a），A₁（a，0，3a），C₁（0，a，3a），D（a，a，3a），E（0，a，a），=（a，-a，3a），=(0,a,a).

所以||=a,||=a,

·=0-a²+a²=a².

所以cos(,)=.

所以BE与A₁C的夹角为arccos.

（2）假设存在F点，使CF⊥平面B₁DF.不妨设AF=b，则F（2a,0,b），

=(a,-a,b),=(a,0,b-3a),=(a,a,0).

因为·=a²-a²+0=0,

所以⊥恒成立.

由·=2a²+b(b-3a)

=b²-3ab+2a²=0,

得b=a或b=2a.

所以当||=a或||=2a时，CF⊥平面B₁DF.