Question

13．已知关于x的函数y=$\frac{（1-t）x-{t}^{2}}{x}$（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]，当t变化时，b-a的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 可判断函数y=$\frac{（1-t）x-{t}^{2}}{x}$=（1-t）-$\frac{{t}^{2}}{x}$（t≠0）在（-∞，0），（0，+∞）上分别是增函数，从而化简可得a，b是x²-（1-t）x+t²=0的两个根且两根同号，从而解得．

解答 解：依题意，注意到函数y=$\frac{（1-t）x-{t}^{2}}{x}$=（1-t）-$\frac{{t}^{2}}{x}$（t≠0）在（-∞，0），（0，+∞）上分别是增函数，
结合对称性，函数y=（1-t）-$\frac{{t}^{2}}{x}$在[a，b]上是增函数，
相应的值域是[f（a），f（b）]，则$\left\{\begin{array}{l}f（a）=a\\ f（b）=b\end{array}\right.$，
即a，b是关于x的方程x=（1-t）-$\frac{{t}^{2}}{x}$，即x²-（1-t）x+t²=0的两个根且两根同号，
a+b=-（t-1），ab=t²，
因此-（t-1）＞0或者-（t-1）＜0，
所以$\left\{\begin{array}{l}△={（t-1）}^{2}-4{t}^{2}＞0\\-（t-1）＞0\\{t}^{2}＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}△={（t-1）}^{2}-4{t}^{2}＞0\\-（t-1）＜0\\{t}^{2}＞0\end{array}\right.$，
由此解得-1＜t＜$\frac{1}{3}$（t≠0），
b-a=$\sqrt{{（a+b）}^{2}-4ab}=\sqrt{{（t-1）}^{2}-4{t}^{2}}=\sqrt{-3{t}^{2}-2t+1}=\sqrt{-3{（t+\frac{1}{3}）}^{2}+\frac{4}{3}}$，
当t=-$\frac{1}{3}$∈（-1，0）时，b-a的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选A．

点评 本题考查了函数的定义域、值域及最大值的问题，同时考查了函数的单调性的判断与应用．