Question

如图所示，正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为

6

2

．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，设AB=a，则可利用tan∠PAO表示出AO和PO，进而根据tan∠PMO=

PO

MO

求得tan∠PMO的值，则∠PMO可知．
（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．根据AO⊥BO，AO⊥PO判断出AO⊥平面PBD，进而可推断AO⊥OE，进而可知进而可知∠AEO为直线PD与AE所成角，根据勾股定理求得PD，进而求得OE，则tan∠AEO可求得．
（3）延长莫MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．先证出平面PMN和平面PBC垂直，再通过已知条件证出MG⊥平面PBC，取AM中点F，利用
EG∥MF，推断出MF=

1

2

MA=EG，可知EF∥MG．最后可推断出EF⊥平面PBC．即F为四等分点．

解答：解：（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，tan∠PAO=

6

2

，
设AB=a， AO=

2

2

a，PO=AO•tan∠POA=

3

2

a，tan∠PMO=

PO

MO

=

3

∴∠PMO=60°．
（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．

AO⊥BD AO⊥PO ?AO⊥平面PBD                    OE?平面PBD

?AO⊥OE．
∵OE=

1

2

PD=

1

2

PO2+DO2

=

5

4

a
∴tan∠AEO=

AO

EO

=

2 10

5

（3）延长莫MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．

BC⊥MN BC⊥PN

?BC⊥平面PMN?平面PMN⊥平面PBC．
又

PM=PN ∠PMN=60° ?△PMN为正△?MG⊥PN                    平面PMN∩平面PBC=PN

?MG⊥平面PBC
取AM中点F，∵EG∥MF∴MF=

1

2

MA=EG
∴EF∥MG．
∴EF⊥平面PBC．
即F为四等分点

点评：本题主要考查了二面角及其度量，解题的关键是通过巧妙设置辅助线找到二面角．