Question

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB．D、E分别为棱C1C、B1C1的中点． (1) 求点B到平面A1C1CA的距离 (2) 求二面角B—A1D—A的大小 (3) 在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵A1B1C1－ABC为直三棱住∴CC1⊥底面ABC∴CC1⊥BC ∵AC⊥CB∴BC⊥平面A1C1CA………………2分 ∴BC长度即为B点到平面A1C1CA的距离 ∵BC＝2∴点B到平面A1C1CA的距离为2……………………4分
(2)	解法一： 分别延长AC，A1D交于G．过C作CM⊥A1G于M，连结BM ∵BC⊥平面ACC1A1∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影 ∴BM⊥A1G∴∠GMB为二面角B—A1D—A的平面角……………………6分 平面A1C1CA中，C1C＝CA＝2，D为C1C的中点 ∴CG＝2，DC＝1在直角三角形CDG中，……8分 即二面角B—A1D—A的大小为………………9分 　　解法二： ∵A1B1C1—ABC为直三棱住C1C＝CB＝CA＝2 AC⊥CBD、E分别为C1C、B1C1的中点 建立如图所示的坐标系得 C(0，0，0)B(2，0，0)A(0，2，0) C1(0，0，2)B1(2，0，2)A1(0，2，2) D(0，0，1)E(1，0，2)………………6分 设平面A1BD的法向量为n …………8分 平面ACC1A1的法向量为m＝(1，0，0)…………9分 即二面角B—A1D—A的大小为………………10分
(3)	解法一： 在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD………………10分 其位置为AC中点，证明如下………………11分 ∵A1B1C1—ABC为直三棱柱∴B1C1//BC ∵由(1)BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA ∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F∵F为AC中点∴C1F⊥A1D∴EF⊥A1D………13分 同理可证EF⊥BD∴EF⊥平面A1BD…………………14分 ∵E为定点，平面A1BD为定平面∴点F唯一 　　解法二： 在线段AC上存在一点F，设F(0，y，0)使得EF⊥平面A1BD……11分 欲使EF⊥平面A1BD由(2)知，当且仅当n//…………12分 ………………13分∴存在唯一一点F(0，1，0)满足条件 即点F为AC中点………………14分