Question

已知数列{a_n}满足条件；a₁=1，a₂=r（r＞0）且{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列．
（1）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N）成立的q的取值范围；
（2）设b_n=a_2n-1+a_2nn （n∈N），求b_n的表达式；
（3）设{S_n}是数列{b_n}的前n项和，求S_n和 

lim

n→∞

1

Sn

；
（4）设r=219.2-1，q=

1

2

，求数列{

log2bn+1

log2bn

}的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）由a_na_n+1=a₁a₁q^n-1=rq^n-1，a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，知rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹+q＞q² 即：q²-q-1＜0∴

1

2

（1-

5

）＜q＜

1

2

（1+

5

），由此能求出0＜q＜

1+ 5

2

．
（2）由数列{a_na_n+1}是公比为q的等比数列，知

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=q，由此能求出b_n=q^n-1+rq^n-1=（1+r）q^n-1．
（3）当q=1时，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1

n(1+r)

=0；当0q＞1时，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1-q

(1+r)(1-qn)

=0．由此能求出

lim

n→∞

1

Sn

．
（4）由b_n=（1+r）q^n-1，知

log2bn+1

log2bn

=

log2(1+r)+nlog2q

log2(1+r)+(n-1)log2q

=1+

1

n-20.2

，由此能求出数列{

log2bn+1

log2bn

}的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵数列{a_n}满足条件：a₁=1，a₂=r，
且数列{a_na_n+1}是公比为q的等比数列，
∴q≠0，r≠0，且a_na_n+1=a₁a₁q^n-1=rq^n-1，
∵a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，
∴rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹+q＞q²
即：q²-q-1＜0，
∴

1

2

（1-

5

）＜q＜

1

2

（1+

5

），
∵q＞0，
∴0＜q＜

1+ 5

2

．
（2）∵数列{a_na_n+1}是公比为q的等比数列，
∴

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=q，
∵a₁=1，
∴当n=2k-1时，a_n=q^k-1
∵a₂=r，
∴当n=2k时，a_n=rq^k-1．
∵b_n=a_2n-1+a_2n（n∈N），
∴b_n=q^n-1+rq^n-1=（1+r）q^n-1．
（3）当q=1时，S_n=n（1+r），

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1

n(1+r)

=0；
当0q＞1时，S_n=

(1+r)(1-qn)

1-q

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1-q

(1+r)(1-qn)

=0．
∴

lim

n→∞

1

Sn

=

1-q 1+r ，0＜q＜1 0，q≥1

．
（4）∵b_n=（1+r）q^n-1，
∴

log2bn+1

log2bn

=

log2(1+r)+nlog2q

log2(1+r)+(n-1)log2q

=1+

1

n-20.2

，
记Cn=

log2bn+1

log2bn

，
当n-20.2＞0，即n＞21，n∈N⁺时，C_n随n的增大而减小，
∴1＜Cn≤C21=1+

1

21-20.2

=

9

4

．
当n-20.2＜0，即n≤20，n∈N⁺时，C_n随n的增大而减小，
∴1＞C_n≥C₂₀=1+

1

20-20.2

=-4．
综上所述，对任意的自然数n，有C₂₀≤C_n≤C₂₁，
∴数列{

log2bn+1

log2bn

}中，n=21时，取最大值

9

4

，n=20时，取最小值-4．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．