Question

（本小题满分14分）

已知圆C过点P（1，1）且与圆M：关于直线对称

（1）求圆C的方程

（2）设为圆C上一个动点，求的最小值

（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP与AB是否平行，并请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

,,直线与平行

【解析】解：（1）依题意，可设圆的方程为，且、满足方程组

                          ………………2分

由此解得  ．又因为点在圆上，所以

．故圆的方程为．…4分

（2）设则，且=         …………6分

设，则由与圆相交，求得的取值范围为[-2，2]

则的最小值为了                                    …………8分

或者令,,则=

因为，则的最小值为了             …………8分

（3）由题意可知，直线和直线的斜率存在且互为相反数，

故可设所在的直线方程为，所在的直线方程为．…9分

由  消去，并整理得 ：

．  ①           …………10分 

设，又已知P 的横坐标1一定是该议程的根，则、1为方程①的两相异实数根，由根与系数的关系得  ．同理，若设点B ，则可得．…12分

于是  ＝=1．          ……13分

而直线的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线与平行．…………14分