Question

5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=log_a（x+1），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若-1＜f（1）＜1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设任意的x＜0，则-x＞0，利用奇偶性求出x＜0时的函数解析式，最后用分段函数表示即可；
（2）由-1＜f（1）＜1，可得-1＜log_a2＜1，分类讨论，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）设任意的x＜0，则-x＞0，…（1分）
由题，f（-x）=log_a（-x+1）
又∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）…（3分）
∴当x＜0，f（x）=log_a（-x+1）…（5分）
∴函数f（x）的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}lo{g_a}（{x+1}），x≥0\\ lo{g_a}（{-x+1}），x＜0\end{array}\right.$…（6分）
（2）∵-1＜f（1）＜1，∴-1＜log_a2＜1，
∴${log_a}\frac{1}{a}＜{log_a}2＜{log_a}a$…（7分）
①当a＞1时，原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＜2\\ a＞2\end{array}\right.$
解得a＞2…（9分）
②当0＜a＜1时，原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＞2\\ a＜2\end{array}\right.$
解得 $0＜a＜\frac{1}{2}$…（11分）
综上，实数a的取值范围为$\{a|0＜a＜\frac{1}{2}或a＞2\}$…（12分）

点评 本题主要考查了利用奇偶性求函数的解析式，以及对数的运算性质，属于中档题．