Question

1．若函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（x∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若关于x的方程f（x）-m=0在[0，1]有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为偶函数，便可得到f（-1）=f（1），这样即可求出k=$-\frac{1}{2}$；
（2）由题意可将f（x）变成f（x）=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$，从而m=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$，可设g（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$，通过求导可判断函数g（x）在[0，1]上单调递增，根据复合函数的单调性即可判断出函数f（x）在[0，1]上单调递增，这样便能求f（x）在[0，1]上的值域．而由前面知函数f（x）在[0，1]上的值域即为m的取值范围，从而便可求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）是偶函数；
∴f（-1）=f（1）；
∴$lo{g}_{4}（{4}^{-1}+1）-k=lo{g}_{4}5+k$；
∴log₄5-1-k=log₄5+k；
∴$k=-\frac{1}{2}$；
（2）x∈[0，1]，f（x）=$lo{g}_{4}（{4}^{x}+1）-\frac{1}{2}x$=$lo{g}_{4}（{4}^{x}+1）-lo{g}_{4}{4}^{（\frac{1}{2}x）}$=$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}=lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$；
∴由f（x）-m=0得m=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$，设g（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$，g′（x）=ln2（${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$）；
∵x∈[0，1]；
∴2^x∈[1，2]；
∴${2}^{x}＞\frac{1}{{2}^{x}}$；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在[0，1]上单调递增；
∴复合函数$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$在[0，1]上单调递增；
∴$lo{g}_{4}2≤lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）≤lo{g}_{4}\frac{5}{2}$，$lo{g}_{4}2=lo{g}_{4}{4}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{2}≤m≤lo{g}_{4}\frac{5}{2}$；
∴实数m的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$lo{g}_{4}\frac{5}{2}$]．

点评 考查偶函数的定义，对数的运算，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，以及对数函数的单调性，符合函数的单调性的判断方法．